Equivalence de normes - Math'φsics

Equivalence de normes

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Equivalence de normes :
\(E\) est un espace vectoriel muni des normes \(\lVert\cdot\rVert_1\) et \(\lVert \cdot\rVert_2\)

elles sont tq $$\exists C,\forall x\in E,\quad \lVert x\rVert_1\leqslant C\lVert x\rVert_2$$

de plus \((E,\lVert\cdot\rVert_1)\) et \((E,\lVert\cdot\rVert_2)\) sont complets

$$\Huge\iff$$

$$\exists C^\prime,\forall x\in E,\quad C^\prime\lVert x\rVert_2\leqslant\lVert x\rVert_1$$
Démontrer l'équivalence de normes :

On utilise la caractérisation avec \(\operatorname{Id}\), qui est

C'est ok avec le Théorème d'isomorphisme de Banach.